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Las matemáticas que describen la forma de la costa

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El 14 de octubre de 2010 (hace ahora ocho años) murió el matemático francés Benoit Mandelbrot, que fue la cabeza visible de la teoría de los fractales.

No hay una definición universalmente aceptada de fractal, pero prácticamente todos los autores ligan este concepto a alguna forma de autosemejanza y a dimensiones fraccionarias. La autosemejanza es la propiedad que garantiza que se conserva la misma estructura a diferentes escalas.

En cuanto a la dimensión, normalmente se consideramos como tal el número de parámetros que necesitamos para describir algo. Así decimos que el espacio es tridimensional porque necesitamos tres coordenadas, largo, ancho y alto para indicar cada punto.

Mandelbrot estudió esta situación en uno de sus artículos más conocidos: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Al medir la longitud de una costa muy irregular, el resultado depende del tamaño de la regla de medir utilizada. Si se usa una muy pequeña, todos los recovecos harán que la longitud aumente considerablemente.  La costa de Gran Bretaña venía modelada por un objeto geométrico llamado fractal. Es una curva, en el sentido de que se puede describir con una función continua, pero la dimensión de su imagen no es unidimensional, en algún sentido, como lo es en una curva suave.

La dimensión fractal está determinada por la variación de la longitud medida, en términos de la variación de la regla. Una curva tiene dimensión D si los valores obtenidos al multiplicar la longitud medida por una potencia D-1 de la longitud de la regla usada se acercan a una constante para reglas pequeñas. Para dimensión D = 1 hay independencia de la regla, siempre que sea pequeña, mientras que para dimensión D=3/2, cada vez que reduzcamos la regla a la cuarta parte, la longitud medida se multiplicará por dos. En su artículo, Mandelbrot afirma que la dimensión fractal de la costa de Gran Bretaña es 1,25, un valor “más fractal” que, por ejemplo, el de la frontera entre España y Portugal (que es 1,14 según datos del matemático inglés Lewis Fry Richardson).

Además de su aplicación en áreas como la medicina o las comunicaciones, los fractales han tenido un notable éxito popular, que se refleja en su belleza visual inmediata basada en las simetrías, como la de la obra de M.C. Escher.

Leer más:

https://elpais.com/elpais/2018/10/15/ciencia/1539596490_824501.html

 

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