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El complejo problema matemático de los girasoles

Paul Erdös y Richard Rado plantearon en 1960 un problema sobre los girasoles, que acaba de tener un avance muy importante.

El problema preguntaba con qué frecuencia se esperaría encontrar patrones que se asemejaran a los girasoles al analizar una colección muy grande de objetos.

Un girasol de r pétalos es una colección de r conjuntos tales que la intersección de cada par es igual a la intersección de todos.

Erdös y Rado probaron en su día el lema del girasol: para un r fijado, r mayor o igual que 3, cualquier familia de conjuntos de w elementos con al menos w elevado a w conjuntos, debe contener un girasol. Si los conjuntos son S₁ , …, S elevado a w, entonces la intersección de todos ellos K = S₁ ∩ … ∩ Sᵣ se llama el núcleo y los complementarios S₁\K, …, S elevado a w \K son los pétalos.

Un ejemplo de girasol
Un ejemplo de girasol

El resultado se ve en toda su dimensión si pensamos que para 100 puntos necesitaríamos 1001¹⁰⁰ conjuntos. Erdös y Rado, tras probar su lema, conjeturaron que debía haber una cota mucho más baja, que debería existir una constante c(r) tal que si el número de conjuntos de la familia dada era mayor o igual que c(r)elevado a w, entonces esa familia debería contener un girasol.

La prueba de este resultado es interesante porque combina matemáticas fundamentales con la teoría de la computación.

Los autores del artículo en cuestión combinaron sus experiencias en ambos campos y, mediante el uso de las funciones booleanas, encontraron una cota satisfactoria. Basta con (log w) elevado a w para garantizar un girasol. Toda función booleana lleva palabras (codificadas con ceros y unos) en un 0 o en un 1. Es decir, funciones f: Bⁿ –> B, donde B = {0, 1}.

El interés de este problema para los que no se dedican a las matemáticas tiene una doble razón: es un ejemplo de cómo cuando aumentamos los datos aparecen patrones y también una mezcla de matemáticas y computación que muestra como esta última descansa en las bases de las matemáticas más abstractas.

Leer más:

https://www.abc.es/ciencia/abci-enrevesado-problema-matematico-girasoles-201911130125_noticia.html

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