• Logo Biblioteca de la Universidad de Sevilla
  • Páginas

  • Categorías

  • RSS GME RSS

    • Se ha producido un error; es probable que la fuente esté fuera de servicio. Vuelve a intentarlo más tarde.
  • Archivo de MATBUS

  • Comentarios recientes

    Mando a distancia te… en Nuevo curso, nuevo sitio del…
    AmongNosotros en Se inspira en el juego ‘Among…
    Jorge en Se inspira en el juego ‘Among…
  • Escribe tu dirección de correo electrónico para suscribirte a este blog, y recibir notificaciones de nuevos mensajes por correo.

    Únete a 133 seguidores más

Curvas elípticas, el objeto que fascina a matemáticos y criptógrafos

Las curvas elípticas son objetos de gran interés para los matemáticos: ya aparecen indirectamente en Aritmética de Diofanto de Alejandría en el s. III antes de nuestra era. Mucho después, Andrew Wiles las empleó para probar el último Teorema de Fermat; hoy en día son el ingrediente fundamental en uno de los problemas más importantes en matemáticas, y también un instrumento básico para la criptografía.

Están definidas por ecuaciones de tercer grado, por ejemplo y² = x³ – x. La curva está formada por los puntos (x, y) que satisfacen esta relación.

Sus coeficientes pueden ser números de diverso tipo: enteros, reales o complejos –que serán las curvas elípticas complejas–.

A lo largo de la historia se han planteado una infinidad de preguntas con curvas algebraicas. Por ejemplo, encontrar la intersección de dos o más curvas.

 El teorema de Bézout establece que dos curvas algebraicas complejas de grados n y m se cortan en n · m puntos, si estos se cuentan bien.

Si se parte de dos puntos P y Q, de una curva elíptica, y se traza la recta que los une, como esta puede entenderse como una curva de grado 1, por el teorema de Bézout, cortará a la curva en tres puntos: P, Q y R. Ahora, se considera el punto S, simétrico de R respecto al eje de abscisas. Entonces, la operación +, definida como P + Q = S permite crear una estructura algebraica llamada grupo, dada por la curva con la operación +.

Esta relación entre álgebra –el grupo– y geometría –la curva– fue uno de los ingredientes en la demostración del último teorema de Fermat, que afirma que si n>2, la ecuación x^n + y^n = z^n no tiene soluciones enteras no triviales.

Otro problema sobre curvas elípticas forma parte de la lista de problemas del milenio, cuya resolución está premiada por la fundación Clay con un millón de dólares: la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Trata de curvas elípticas con coeficientes racionales, y conecta dos aspectos: el mínimo número de puntos necesarios para generar el grupo de puntos racionales, con el orden de anulación de cierta función asociada a la curva –la llamada función L de Hasse-Weil–.

La función de Hasse-Weil se obtiene como producto infinito de ciertas funciones más simples asociadas a la curva y a los números primos, las funciones L locales.

Más allá de las matemáticas, las curvas elípticas sobre cuerpos finitos también tienen mucha importancia en criptografía, ya que se emplean en el problema del logaritmo discreto elíptico (ECDLP). Este problema consiste en encontrar un valor n, dados dos puntos P y Q de la curva, que cumpla P = nQ para n>0.

Leer más:

https://elpais.com/ciencia/2020-09-16/el-objeto-que-fascina-a-matematicos-y-criptografos.html

Nadie es capaz de resolver (aún) ‘los seis grandes problemas matemáticos del Milenio’

grandes-problemas-matematicos-milenio-resolverse_965014927_115749721_667x375

En 2000 el Instituto Clay de Matemáticas, con sede en Cambridge (Estados Unidos), impulsó una iniciativa para incrementar y difundir el conocimiento de las matemáticas en el mundo.

Para ello, un comité de expertos elaboró diversos retos. La lista de problemas presentados incluyó la representación de todas las grandes ramas de la matemática. Salvo un caso, todavía nadie ha sido capaz de desentrañar los acertijos restantes de esta ciencia.

Los7 problemas matemáticos del Milenio’ fueron elegidos por otro criterio: todos son fundamentales dentro del panorama de las matemáticas actuales.

Solo un problema ha sido descifrado: la denominada ‘Conjetura de Poincaré’, enunciada originalmente en 1904. Quien da nombre al problema sugería que, en un mundo de cuatro dimensiones, un espacio sin agujeros sería equivalente a una esfera.

El matemático ruso Grigori Perelman, tras un encierro de ocho años para estudiarlo, lo resolvió, pero rechazó el millón de dólares de los Clay y la medalla Fields, considerada el Nobel de las matemáticas.

En agosto pasado, el Congreso de la Unión Matemática Internacional, celebrado en Corea del Sur, galardonó a un profesor del Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de Nueva York, llamado Subhash Khot,  de origen indio y que  dedicó mucho tiempo para intentar descifrar la teoría de la complejidad computacional (uno de los siete retos matemáticos del milenio). Sin embargo, no demostró el teorema existente al respecto, que lleva los nombres de los matemáticos Cook y Levin, sino que ofreció una nueva conjetura, motivo por el cual fue premiado por el jurado.

Otro de los grandes enigmas que siguen sin resolver es la denominada ‘conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer’. El español Francesc Castellà, investigador de la Universidad de Princeton, se ha encarado con este gran desafío del milenio, buscando con obsesión la respuesta acertada y solución, pero áun no lo ha conseguido…

Los otros cuatro Grandes problemas matemáticos del Milenio aún sin resolver son ‘la conjetura de Hodge’ (todo ciclo es una combinación racional de ciclos algebraicos, es decir de los ciclos asociados a subvariedades analíticas cerradas); ‘la hipótesis de Riemann’ (sobre números primos), la ‘existencia en la Teoría de Yang-Mills’ (lo que se pide es un modelo matemático que satisfaga los axiomas de cierta Teoría Cuántica de Campos conocida como Teoría de Yang-Mills o Teoría gauge no-abeliana) y ‘las ecuaciones de Navier-Stokes’ (problema relacionado con la física, aunque es un problema de análisis y, más concretamente, de ecuaciones diferenciales).

Leer más:

http://www.lainformacion.com/interes-humano/Nadie-resolver-problemas-matematicos-Milenio_0_965004156.html

 

Francesc Castellà, el joven investigador de Princeton que se enfrenta al problema matemático del millón de dólares

1475594514_710911_1475614968_noticia_normal_recorte1

Francesc Castellà, investigador de Princeton de 30 años,  se enfrenta a la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, uno de los siete problemas matemáticos del milenio, cuya resolución será recompensada por el Instituto Clay de Matemáticas con un millón de dólares cada uno. Fue enunciada en 1965 por los matemáticos británicos Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dye. Víctor Rotger (que fue tutor de Castellà) ha intentado exponerlo en un lenguaje accesible y en 50 páginas.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sostiene que existe una forma sencilla de averiguar si unas ecuaciones que definen curvas elípticas tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.

Castellà recibió el premio Vicent Caselles, otorgado a jóvenes investigadores brillantes por la Real Sociedad Matemática Española y la Fundación BBVA. Antes de Princeton, fue profesor adjunto en la Universidad de California (Los Ángeles). Y antes se doctoró en la Universidad de McGill, en Montreal (Canadá).

El joven investigador español admite que no sabe si la demostración de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer tendría aplicaciones directas, aunque recuerda que las curvas elípticas son la base de uno de los métodos más utilizados en sistemas de criptografía.

Su tesis doctoral desarrolló una nueva perspectiva en la construcción de Howard de puntos de Heegner asociados a familias de Hida, dando lugar a importantes avances en la conjetura de Bloch-Kato.

Leer más:

http://elpais.com/elpais/2016/10/04/ciencia/1475594514_710911.html

 

Enigmas matemáticos

La Unión Matemática Internacional por intermedio del Instituto Clay de Matemáticas de Cambridge (Massachusets), concede cada cuatro años un premio en metálico y la Medalla Fields Internacional para descubrimientos matemáticos muy destacados. El Instituto formuló en el año 2000 los siete enigmas matemáticos, con el objeto de ser resueltos.

Algunos se enunciaron hace cientos de años y requieren muchos años de investigación para lograr una respuesta acertada. Los resultados presentados por los investigadores son publicados para su incorporación.

Los siete enigmas son los siguientes:

1. Conjetura de Poincaré. “La superficie de una esfera, en cualquier número de dimensiones mayor que 2 puede contraerse hasta un único punto de forma continua”. Esta conjetura fue resuelta por el científico ruso Grigori Perelman, que no quiso recibir el premio.

2. Problema de P vs. NP. (Stephen Cook y Leonid Levin).- “Solucionar un problema lleva más tiempo que verificar una solución ya ofrecida. Donde P es difícil de encontrar y NP fácil de verificar”. Nadie ha podido comprobarlo con veracidad.

3. Ecuaciones de Navier-Stokes. Formuladas en 1822:
“Un conjunto de ecuaciones permite estudiar las turbulencias en los líquidos y en los gases, sin que exista una teoría matemática que las fundamente”. El reto consiste en encontrar tal fundamentación.

4. Hipótesis de Riemann. “La parte real de todo cero no trivial de su función equivale exactamente a ½”. Esta hipótesis basada en el estudio sobre los números primos no ha sido probada.

5. Conjetura de Hodge. El método de comprensión de los objetos geométricos de forma complicada consiste en reducir matemáticamente el propio objeto estudiado a un conjunto de subvariedades (variables) que puestas juntas una a otra forman un homólogo geométrico. La conjetura dice que ciertos grupos de esta cohomología son algebraicos y se resuelven como sumas de dualidades.

6. Teoría de Yang-Mills. Estos estudios influyeron en el avance de la teoría sobre la electrodinámica, la interacción nuclear fuerte,  la interacción débil y la teoría cuántica de campos. Hasta el momento no se ha probado que los cálculos algebraicos que llevaron a tal descubrimiento sean correctos.

7. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Parte  de la descripción que hace Euclides de la elipse simple. Sus discípulos modernos intentaron modificar la solución simple mediante un coeficiente para describir figuras visualmente similares pero no lineales. Se busca la fórmula del coeficiente.

Leer más:

http://www.eldiario.com.co/seccion/OPINION/enigmas-matem-ticos1511.html

A %d blogueros les gusta esto: