Posted on septiembre 8, 2020 by Biblioteca de Matemáticas
El artista argentino Sergio Massera presenta Rotación y Continuidad, dos trabajos vinculados a la línea de la geometría generativa asociada a la teoría de los fractales.
Se trata de dos pinturas de la década del 90 que formaron parte de su trabajo final como licenciado en Pintura de la Facultad de Arte de la Universidad Nacional de Córdoba.
Se concentra en la búsqueda de construcciones complejas que resuelve desde el punto de vista pictórico con esmalte sintético para lograr efectos como si fueran rocas pulidas.
Sigue una línea anicónica del arte y sus obras rara vez guardan una semejanza con la imagen.
Posted on diciembre 3, 2019 by Biblioteca de Matemáticas
Las galaxias, las nubes, el sistema nervioso o las costas contienen patrones interminables conocidos como fractales.
El concepto procede de Benoit Mandelbrot, un matemático polaco nacionalizado francés y estadounidense, que en gran medida fue autodidacta, nunca aprendió formalmente el alfabeto, pero tuvo un don para ver los patrones ocultos de la naturaleza.
Dedicó toda su vida a buscar una base matemática simple para las formas irregulares del mundo real.
Las formas de las nubes nubes, montañas, costas, brócolis y helechos tienen algo en común, algo intuitivo, accesible y estético.
Hay un principio matemático llamado autosimilitud, que describe cualquier cosa en la que la misma forma se repite una y otra vez a escalas cada vez más pequeñas, como se ve en las ramas de los árboles.
Se bifurcan y se bifurcan nuevamente, repitiendo ese simple proceso una y otra vez a escalas cada vez más pequeñas.
Mandelbrot se dio cuenta de que la autosimilitud era la base de un tipo completamente nuevo de geometría. A eso le dio el nombre de fractal, y es a eso a lo que a veces se le llama «la huella digital de Dios».
El matemático había aceptado un trabajo en IBM a fines de la década de 1950 para obtener acceso a su increíble poder de cómputo y dar rienda suelta a su obsesión con las matemáticas de la naturaleza.
Con una supercomputadora de nueva generación, comenzó a investigar una ecuación muy curiosa y extrañamente simple que podía usarse para dibujar una forma muy inusual.
La siguiente ilustración es una de las imágenes matemáticas más notables jamás descubiertas, es el conjunto de Mandelbrot.
Cada forma dentro del conjunto contiene un número infinito de formas más pequeñas, que contiene un número infinito de otras formas aún más pequeñas y así, sin fin.
Sin embargo, toda esta complejidad proviene de una ecuación increíblemente simple. Y eso nos obliga a repensar la relación entre simplicidad y complejidad.
Hay algo en nuestras mentes que dice que la complejidad no surge de la simplicidad; que debe surgir de algo complicado. Pero lo que nos dicen las matemáticas en toda esta área es que reglas muy simples dan lugar naturalmente a objetos muy complejos.
La matemática fractal, junto con el campo relacionado de la teoría del caos, ha revelado la belleza oculta del mundo, ha inspirado a científicos en muchas disciplinas, incluyendo cosmología, medicina, ingeniería y genética, e incluso a artistas y músicos.
Posted on octubre 21, 2019 by Biblioteca de Matemáticas
Desde el origen de la humanidad el hombre es un cazador de patrones, desde cromáticos hasta sonoros, pasando por espaciales, temporales y geométricos.
El término fractal es relativamente joven fue acuñado en 1975 cuando el matemático Benoit Mandelbrot lo acuñó a partir del latín «fractus» –roto o fragmentado- para designar un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas.
La geometría fractal o de la naturaleza no sólo encierra una belleza en sí misma, sino que atesora los cimientos del orden y de la regularidad. En este sentido está emparentada con la sucesión de Fibonacci.
Los fractales aportan una complejidad extra a las figuras irregulares, una dimensión adicional a la clásica representación tridimensional. Fueron los científicos de la naturaleza los primeros en ver que las matemáticas esconden una ecuación que se repite hasta la saciedad, a la cual denominamos iteración.
Aunque no seamos conscientes, estamos rodeados de fractales modernos y la mayoría son relativamente fáciles de reproducir. Los más conocidos son el conjunto de Mandelbrot (la representación de una sucesión cuadrática a partir de cualquier número complejo) y el triángulo Sierpinski o la curva del dragón.
También podemos encontrar frecuencias fractales en la música de Bach o el golpeteo que producen las olas del mar.
En su caso, Bach sometió las matemáticas a la estética musical, se ha dicho que sus composiciones están muy próximas a la perfección matemática y que en algunas de ellas hay acertijos matemáticos.
Posted on enero 11, 2019 by Biblioteca de Matemáticas
El próximo viernes, 18 de enero, a las 19,30 horas, dentro del ciclo de conferencias que organiza el Área de Cultura del Ayuntamiento de Almuñécar, a través de la Biblioteca Municipal, y la Universidad de Granada, en el salón de actos de la Casa de la Cultura sexitana, el catedrático de Matemáticas Aplicada, José Martínez Aroza, hablará sobre Fractales en el arte y la naturaleza.
El arte fractal tiene una estrecha relación con las matemáticas, sobre todo con la geometría. Los fractales se basan en la repetición constante de patrones geométricos autoafines, de forma que una porción es idéntica al todo. Por tanto, el fractal repite una serie de patrones hasta el infinito.
José Martínez Aroza, el ponente de esta conferencia, es catedrático de Matemática Aplicada de la Universidad de Granada. Su actividad docente e investigadora comienza en 1979 en el Colegio Universitario de Almería. En 1987 se incorpora a la Universidad de Granada como profesor titular. Ha dirigido varias tesis doctorales y ha publicado artículos científicos en revistas de prestigio internacional.
Posted on octubre 18, 2018 by Biblioteca de Matemáticas
El 14 de octubre de 2010 (hace ahora ocho años) murió el matemático francés Benoit Mandelbrot, que fue la cabeza visible de la teoría de los fractales.
No hay una definición universalmente aceptada de fractal, pero prácticamente todos los autores ligan este concepto a alguna forma de autosemejanza y a dimensiones fraccionarias. La autosemejanza es la propiedad que garantiza que se conserva la misma estructura a diferentes escalas.
En cuanto a la dimensión, normalmente se consideramos como tal el número de parámetros que necesitamos para describir algo. Así decimos que el espacio es tridimensional porque necesitamos tres coordenadas, largo, ancho y alto para indicar cada punto.
Mandelbrot estudió esta situación en uno de sus artículos más conocidos: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Al medir la longitud de una costa muy irregular, el resultado depende del tamaño de la regla de medir utilizada. Si se usa una muy pequeña, todos los recovecos harán que la longitud aumente considerablemente. La costa de Gran Bretaña venía modelada por un objeto geométrico llamado fractal. Es una curva, en el sentido de que se puede describir con una función continua, pero la dimensión de su imagen no es unidimensional, en algún sentido, como lo es en una curva suave.
La dimensión fractal está determinada por la variación de la longitud medida, en términos de la variación de la regla. Una curva tiene dimensión D si los valores obtenidos al multiplicar la longitud medida por una potencia D-1 de la longitud de la regla usada se acercan a una constante para reglas pequeñas. Para dimensión D = 1 hay independencia de la regla, siempre que sea pequeña, mientras que para dimensión D=3/2, cada vez que reduzcamos la regla a la cuarta parte, la longitud medida se multiplicará por dos. En su artículo, Mandelbrot afirma que la dimensión fractal de la costa de Gran Bretaña es 1,25, un valor “más fractal” que, por ejemplo, el de la frontera entre España y Portugal (que es 1,14 según datos del matemático inglés Lewis Fry Richardson).
Además de su aplicación en áreas como la medicina o las comunicaciones, los fractales han tenido un notable éxito popular, que se refleja en su belleza visual inmediata basada en las simetrías, como la de la obra de M.C. Escher.
Posted on diciembre 19, 2017 by Biblioteca de Matemáticas
El nombre de fractal es quizás uno de los más conocidos de las matemáticas recientes por las personas ajenas a esta ciencia. La palabra fractal aparece por primera vez en 1975, cuando Benoît Mandelbrot publicó Les objets fractales: Forme, hasard et dimension. Lo definió como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Si la dimensión fractal está entre 0 y 1, es un conjunto de puntos alineados que no llega a constituir una recta, a pesar de ser infinitos y estar infinitamente próximos entre sí.
Un fractal con dimensión mayor que 1 y menor que 2 es una superficie no delimitada por una curva o un conjunto de rectas, pero que no llega a ser un plano, como el fractal de Koch.
Jackson Pollock (1912-1956) fue el creador del expresionismo abstracto y una de las grandes figuras internacionales del arte contemporáneo.
En 1999 los científicos australianos Richard P. Taylor, Adam P. Micolich y David Jonas publicaron un artículo en la revista ‘Nature’ (Fractal analysis of Pollock’s drip paintings), donde mostraban que sus pinturas respetaban el principio de autosimilitud y sus cuadros tenían estructuras fractales. Calcularon la dimensión fractal de sus cuadros y vieron que desde poco mayores de 1 a mediados de los 40 fue aumentando de manera regular hasta llegar en 1952 a cerca de 1,7 en los patrones caóticos generados y de 1,9 para la dimensión de las configuraciones caóticas.
En 2005 la Fundación Pollock-Krasner encargó un análisis fractal sobre unas pinturas encontradas en Nueva York que podían ser suyas. Dos años después, los científicos de materiales mostraron que los pigmentos utilizados en las pinturas eran posteriores a la muerte de Pollock. En 2015 el informático L. Shamir demostró que, cuando se combina con otros parámetros de patrones, el análisis fractal se puede emplear para distinguir entre pollocks reales e imitaciones con el 93% de precisión.
Posted on mayo 2, 2008 by Biblioteca de Matemáticas
Un fractal es un patrón geométrico repetitivo que se puede encontrar en la naturaleza. Una definición corta para una realidad difícil de entender. Casi tres décadas después de que el matemático Benoit Mandelbrot acuñara el término, todavía se desconoce mucho de su funcionamiento. Hace unos años, estaban de moda. Ahora parece que pasen de puntillas por los medios de comunicación. Texto completo
Matbus. Blog de la Biblioteca de Matemáticas de Sevilla 