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Curvas elípticas, el objeto que fascina a matemáticos y criptógrafos

Las curvas elípticas son objetos de gran interés para los matemáticos: ya aparecen indirectamente en Aritmética de Diofanto de Alejandría en el s. III antes de nuestra era. Mucho después, Andrew Wiles las empleó para probar el último Teorema de Fermat; hoy en día son el ingrediente fundamental en uno de los problemas más importantes en matemáticas, y también un instrumento básico para la criptografía.

Están definidas por ecuaciones de tercer grado, por ejemplo y² = x³ – x. La curva está formada por los puntos (x, y) que satisfacen esta relación.

Sus coeficientes pueden ser números de diverso tipo: enteros, reales o complejos –que serán las curvas elípticas complejas–.

A lo largo de la historia se han planteado una infinidad de preguntas con curvas algebraicas. Por ejemplo, encontrar la intersección de dos o más curvas.

 El teorema de Bézout establece que dos curvas algebraicas complejas de grados n y m se cortan en n · m puntos, si estos se cuentan bien.

Si se parte de dos puntos P y Q, de una curva elíptica, y se traza la recta que los une, como esta puede entenderse como una curva de grado 1, por el teorema de Bézout, cortará a la curva en tres puntos: P, Q y R. Ahora, se considera el punto S, simétrico de R respecto al eje de abscisas. Entonces, la operación +, definida como P + Q = S permite crear una estructura algebraica llamada grupo, dada por la curva con la operación +.

Esta relación entre álgebra –el grupo– y geometría –la curva– fue uno de los ingredientes en la demostración del último teorema de Fermat, que afirma que si n>2, la ecuación x^n + y^n = z^n no tiene soluciones enteras no triviales.

Otro problema sobre curvas elípticas forma parte de la lista de problemas del milenio, cuya resolución está premiada por la fundación Clay con un millón de dólares: la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Trata de curvas elípticas con coeficientes racionales, y conecta dos aspectos: el mínimo número de puntos necesarios para generar el grupo de puntos racionales, con el orden de anulación de cierta función asociada a la curva –la llamada función L de Hasse-Weil–.

La función de Hasse-Weil se obtiene como producto infinito de ciertas funciones más simples asociadas a la curva y a los números primos, las funciones L locales.

Más allá de las matemáticas, las curvas elípticas sobre cuerpos finitos también tienen mucha importancia en criptografía, ya que se emplean en el problema del logaritmo discreto elíptico (ECDLP). Este problema consiste en encontrar un valor n, dados dos puntos P y Q de la curva, que cumpla P = nQ para n>0.

Leer más:

https://elpais.com/ciencia/2020-09-16/el-objeto-que-fascina-a-matematicos-y-criptografos.html

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